News center

[공대생이 보는 세상. 1]

수학과가 본 민속촌

글. 전자전기공학과 24학번 30기 알리미 정찬우

“아니, 또 도 나왔어?” 단순히 운이 나쁜 걸까, 아니면 윷에 숨은 비밀 때문일까? 사실 이건 윷의 모양과 관련이 있어.
그림 1. 윷의 단면도

우리가 흔히 사용하는 가락윷은 반원통 형태로, 그림 1과 같이 등과 배라는 두 면을 가져. 이때 윷 단면의 둥근 정도를 결정하는 것이 바로 절단각 θ야. 이 절단각에 따라 등 면이 위로 향할 확률도 달라지지. 이 확률을 q라고 정의할 때, 시뮬레이션을 통해서, 절단각에 따른 등의 확률을 수학적으로 표현할 수 있어.

수식 1. 절단각에 따른 등이 나올 확률 식

그렇다면 어떤 형태의 윷이 좋은 윷일까? 절단각에 따른 기대 이동 거리를 확인하면 돼! 윷놀이의 규칙에서, 배가 나오는 개수가 적은 순으로 모, 도, 개, 걸, 윷이야. 그러나 이동 거리는 도, 개, 걸, 윷, 모 순이야. 또한, 윷과 모의 경우는 윷을 다시 던지는 규칙도 있지. 이때의 확률분포를 설명하기 위해 윷 이항분포를 새로 정의할 수 있어. 4개의 윷에 번호를 매긴 뒤, 윷 i(i = 1, 2, 3, 4)를 던질 때 나오는 등의 개수를 Xi, 그 확률을 P(Xi = 1) = qi라고 하자. 한 턴에 윷이 가는 거리를 Y 라고 정의한다면, 

수식 2. 한 조의 윷을 던졌을 때 말이 가는 거리

으로 표현할 수 있지. 모든 윷이 동일하고, q의 값이 정해졌다면, 다음과 같이 간단하게 표현할 수 있어!

수식 3. q가 고정된 경우에서 확률변수 Y의 확률함수

또한, 말의 기대 이동 거리를 ε이라 하면, 다음과 같은 관계식을 얻어. 

즉, 이동 거리는 각 경우의 수에 따라 이렇게 가중치를 주어 계산할 수 있어. 따라서, 윷 이항분포와 기대 이동 거리에 대한 식을 기반으로 q1에 따른 이동 거리를 아래 개형도와 같이 나타낼 수 있어. 

그림 2. q1에 따른 ε의 개형도

개형도를 통해 등이 나올 확률이 대략 0.546에 근접할 때 최소 이동 거리를 가지는 사실! 정말 신기하지 않아? 더 나아가, 위 수식들을 활용해 좋은 윷의 기준을 어떻게 선정하냐에 따라 최적의 qi를 찾을 수도 있어. 예를 들어, 도가 나올 확률 p1을 최대로 하는 확률 q는 (0.3, 0.57, 0.57, 0.57)임을 쉽게 알 수 있지. 그냥 명절놀이로만 알았던 윷놀이에도 이렇게 복잡한 수학과 과학이 숨어 있다니, 놀랍지 않아? 이제 윷을 던질 땐, 모양부터 살펴봐서 승률을 높여보자고!

[그림 출처]

그림 1-2 & 수식 1-3. 오창혁, “윷놀이와 확률.” 『한국데이터정보과학회지』 21, no. 4, (2010): 3-7p

[참고 자료]

1. 오창혁, “윷놀이와 확률.” 『한국데이터정보과학회지』 21, no. 4, (2010): 3-7p

[공대생이 보는 세상. 2]

신소재공학과가 본 민속촌

글. 무은재학부 25학번 31기 알리미 강창민

대장간에서 “깡! 깡! 깡!”하는 소리 들어본 적 있어? 망치로 철제 기구들을 두드려 강도를 높이는 것에 특별한 과학적 원리가 숨어 있다는데, 한번 알아볼까? 금속을 어느 정도 이상으로 당기면 원래 상태로 돌아오지 않고 변형된 상태가 그대로 유지되는데, 이를 소성변형이라고 해. 이때 소성변형이 시작되는 응력1이 ‘항복 강도(Yield Strength)’야. 항복 강도가 높으면 소성변형이 잘 안되겠지? 즉, 강도가 높은 상태가 되는 거야. 대장간에서는 항복 강도를 높이기 위해서 망치질하는데, 그 자세한 원리를 살펴보자. 금속은 결정 구조로, 원자들이 일정한 규칙에 따라 배열되어 있어. 이 격자 구조에 존재하는 미세한 결함들을 전위(Dislocation)라고 해. 망치질을 하면 전위가 생기고 이들이 얽히면서 항복 강도가 높아지는데 이를 ‘변형 강화’라고 해! 그래프를 보고 더 자세히 알아볼까?

그림 1. 냉간 가공 정도(Percent Cold Work)에 따른 항복 강도(Yield Strength)

그래프의 수평축인 ‘냉간 가공 정도(Percent Cold Work)’는 ‘금속을 얼마나 세게, 많이 두들겼는지 보여주는 숫자’라고 생각하면 돼. 1,040강(Steel)의 경우, 냉간 가공을 약 20% 정도 하면 항복 강도가 약 450  MPa에서 약 750 MPa까지 약 1.75배 올라간다는 걸 알 수 있어! 또한, 망치질할 때 변형 강화 말고도 결정립 미세화라는 현상이 발생해. 결정립(Grain)이란 금속 내에 존재하는 작고 독립적인 결정들을 말해. 그리고 결정립끼리의 경계를 결정립 경계(Grain boundary)라고 해. 

그림 2. 결정립 경계(Grain boundary)

망치질을 반복하면 금속 내부의 결정립이 잘게 쪼개지고, 새로운 결정립을 형성하게 되는데 이때 결정립 경계가 늘어나게 되는 거야. 결정립 경계의 개수가 늘어나면, 전위가 이동할 때 많은 경계에 부딪히겠지. 즉, 전위의 움직임을 방해하게 되고, 소성변형이 어려워져! 

이 식은 결정립의 직경이 항복 강도에 의존한다는 것을 알려주는 Hall-Petch 식이야. 식을 통해 결정립이 작을수록 항복 강도가 높아진다는 것을 알 수 있어. 즉, 망치질로 인해 결정립 미세화 작용이 일어나면 항복 강도가 증가하게 되는 거지! 망치로 두드리면 그냥 단단해 지기만 하는 줄 알았는데, 전위가 얽히고 결정립이 미세화되는 과학 원리가 숨어있다니 정말 신기하지? 다음에 망치질 소리가 들리면, 금속 안에서 일어나는 변화를 상상해 봐!

[각주]

1. 물체에 외력이 작용하였을 때, 그 힘에 저항하기 위해 물체 내부에서 발생하는 내부력

[그림 출처]

그림 1-2. Callister, William D., and David G. Rethwisch. Materials Science and Engineering: An Introduction. 9th ed. Hoboken: Wiley, 2014.

[참고 자료]

1. Callister, William D., and David G. Rethwisch. Materials Science and Engineering: An Introduction. 9th ed. Hoboken: Wiley, 2014.

[공대생이 보는 세상. 3]

생명과학과가 본 민속촌

글. 무은재학부 25학번 31기 알리미 차윤서

와! 민속촌에 오니 아름다운 한복을 입은 사람들이 정말 많이 보이네! 특히 비단으로 만든 한복의 광택이 정말 고급스럽고 우아하다... 그런데, 비단은 어떤 원리로 광택을 띨 수 있는 걸까? 그 핵심은 비단을 이루는 단백질인 피브로인의 구조야! 자세히 알아볼까? 우리가 접하는 대부분의 비단은 누에나방의 고치를 삶은 뒤 풀려나오는 실을 이용해 천을 직조한 거야. 비단의 아름다운 광택의 비밀은 누에나방이 뿜는 실의 나노 구조 속에 숨겨져 있어.  

그림 1. 누에가 내는 실의 구조

그림에서 볼 수 있듯이, 누에의 실은 뼈대 역할인 단백질 피브로인과 접착제 역할인 단백질 세리신으로 이루어져 있어. 이때, 광택의 핵심은 바로 피브로인이야! 위의 그림처럼 피브로인은 여러 가닥의 피브릴이 모인 형태로 이루어져 있어. 심지어 피브릴 자체도 극미 피브릴이라는 더 가는 섬유로 이루어져 있지. 즉, 피브로인은 매우 미세한 섬유들이 모여있는 구조를 이룬다는 거야!

그림 2. 극미 피브릴이 모여 피브릴을 이루는 구조

수십 나노미터 이하 크기의 극미 피브릴은, 결정 영역2과 무정형 영역3을 지니고 있어. 결정 영역은 빛의 반사를 돕고, 무정형 영역은 유연성과 탄성을 제공하지. 이때 결정 영역은 나노미터 단위로 매끄러운 표면을 가지고 있는데, 그 덕에 빛을 표면에서 한 방향으로 반사하는 스페큘러 반사4를 만들어내. 마치 거울처럼 말이야! 그래서 비단이 반짝거릴 수 있는 거지.

다시 그림 1을 보면 피브로인 섬유가 삼각형에 가까운 단면을 가지고 있지? 위에서 말했듯 피브로인의 삼각 단면을 이루는 각 섬유 다발은 제각각 빛을 반사해. 심지어 결정 영역의 굴절률은 약 1.54로, 약 1.00의 굴절률을 가진 공기와 큰 차이를 보이기 때문에 빛이 비단 표면에서 더 많이 반사될 수 있어. 이때 다양한 방향으로 반사된 여러 빛이 삼각 단면에 모이게 되어, 은은한 광택을 띠게 되는 거야! 고급스러운 분위기를 풍기는 비단의 광택에 단백질의 나노 구조라는 과학적 비밀이 숨겨져 있었다니, 놀랍지 않아? 앞으로 비단옷을 입을 때면, 누에가 내는 실의 구조를 떠올려 봐! 그럼, 안녕~

[각주]

2. 분자 사슬이 규칙적으로 배열되어 밀도가 높은 부분으로 나노미터 단위로 매끄러운 표면을 형성

3. 분자 사슬이 무질서하게 배열된 비결정 부분으로 외부 충격을 흡수하고 섬유의 기계적 특성을 향상시킴

4. 입사각과 동일한 각도로 빛을 돌려보내는 반사

[그림 출처]

그림 1. 뉴턴. “<Newton>과학247: 누에 비단의 광택은 어떻게 생길까?.” 「월간 뉴턴 공식 블로그」. 2022년 2월 17일. https://m.blog.naver.com/i-newton/223717911389

그림 2. Rafael O.Moreno-Tortolero, Juliusz Michalski, et al. “Manipulating the water–air interface to drive protein assembly for functional silk-like fibroin fibre production.”, Nature Communications Materials 5, Article number: 277 (2024).  https://www.nature.com/articles/s43246-024-00722-x

[참고 자료]

1. Norman Nan Shi, Cheng-Chia Tsai, et al. “Nanostructured fibers as a versatile photonic platform: radiative cooling and waveguiding through transverse Anderson localization”, Nature - Light: Science & Applications 7, Article number: 37 (2018). https://www.nature.com/articles/s41377-018-0033-x?error=cookies_not_supported&code=964bbb4a-62f6-4593-9cfc-1c8b7d61d46a#:~:text=mittrei%2C%20commonly%20known%20as%20the,for%20a%20natural%20biological%20system

2. Yu Wang, Jin Guo, et al. “Design, Fabrication, and Function of Silk-Based Nanomaterials”, National Library of Medicine vol. 28, 52(2018). https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC7241600/#:~:text=nanometers.%20Typical%20examples%20include%20%CE%B2,and%20toughness%20in%20natural%20silk

3. Elizabeth. “What Type of Fibre Is Silk: Understanding Its Fiber Classification.” PandaSilk. May 1, 2023. https://www.pandasilk.com/what-type-of-fibre-is-silk/

[공대생이 보는 세상. 4]

화학공학과가 본 민속촌

글. 무은재학부 25학번 31기 알리미 황희권

“앗! 밥을 먹다 옷에 흘려버렸잖아?” 비누가 발명되기 이전에 우리의 옛 조상들은 어떤 방법으로 더러워진 옷을 빨래했을까? 잿물로 머리를 감거나 빨래했던 선조들의 지혜를 함께 알아보자! 잿물은 나무나 볏짚 등의 초목을 태운 뒤, 남은 재 속의 수용성 알칼리 성분을 물에 우려낸 것이야. 특히나 수산화칼륨(KOH)과 탄산칼륨(K2 CO3)이라는 강한 염기 성분이 주를 이뤄. 따라서 잿물은 pH가 매우 높은 강한 알칼리성 용액이 되는 것이지.

그림 1. 비누화 반응의 메커니즘

빨래의 가장 큰 목적은 땀, 피지, 음식물과 같은 기름 성분을 제거하는 것이라고 할 수 있어. 그런데 기름은 물에 잘 녹지 않으므로 물로만 빨래하기는 어렵다는 걸 다들 알고 있을 거야. 여기서 잿물이 마법처럼 작동해. 알칼리성 용액이 세정작용을 하는 원리는 지방산과 반응하여 비누화를 일으키는 것이야. 반응 메커니즘은 그림 1과 같아. 그림 1에서 트리글리세라이드5는 에스테르 결합(-COO-)을 가지고 있으며 수산화나트륨의 수산화이온(OH^-)과 반응하는 것을 볼 수 있어. 위 가수분해6는 에스테르 결합을 끊어 글리세롤과 지방산 나트륨염을 생성해. 이 반응이 바로 비누화 반응이야. 이때 생성물인 지방산 나트륨염이 우리가 흔히 ‘비누’라고 부르는 물질이야. 극성의 카르복시기(머리)와 비극성의 탄화수소 사슬(꼬리)로 구성되어 물과 기름을 동시에 흡착하는 음이온 계면활성제이지. 이는 물에 잘 녹지 않는 기름을 감싸서 미셸 구조7를 형성해 물에 분산시켜. 결과적으로 옷에 묻은 때가 물에 의해 분리되어 씻겨 나가게 하는 거야. 나무를 태워서 만든 잿물이 비누화 반응을 일으킨다니 신기하지 않아? 앞으로 빨래할 때면 이 원리를 떠올려 봐!

[각주]

5. 글리세롤에 3분자의 지방산이 결합한 것

6. 물 분자가 하나 이상의 화학 결합을 끊는 반응 

7.  소수성인 꼬리 부분은 물과의 접촉을 피하기 위해 가운데로 모이고, 머리 부분은 외부로 향하여 형성된 구형의 응집체

[그림 출처]

그림 1. “Properties of Acids and Bases”. 『ChemistryTalk』.  https://chemistrytalk.org/acid-base-properties/

[참고 자료]

1.  Alum, Benedict. “Saponification Process and Soap Chemistry” INOSR APPLIED SCIENCES 12, (2024): 51-56.

2. 김명수. “Micelle 형성에 관한 현상학적 고찰.” 「대한화학회지」 33, no.5 (1989): 459-467